技能実習生の場合、「技能実習3号」、「特定技能1号」、「特定活動(就業可 6ヶ月)」への在留資格変更が可能です。
特例措置も有り、就労のハードルが下がっていますが、色々な制約がありますから、ご注意ください。

特定技能への在留資格変更の準備が整っている場合は直ぐに申請しましょう。
手続きに時間がかかる場合には、「特定活動」への資格変更を申請し、その後「特定技能」への変更申請を行ってください。
いずれにしても、3週間~2か月程度審査手続きにかかると考えて、余裕をもって対応してください。

 技能実習3号

 監理団体、実習実施者共に優良認定されていれば、通常の機構への計画認定申請、入管への在留資格変更申請を、実施して下さい。

優良要件に満たない場合、又は実習実施者が継続して雇用を希望しない場合は、他の実習実施機関への移籍を行ってください。 実習実施者、監理団体で移籍先を探す、又は実習機構の「実習先変更支援」を利用して、3号の実習先を探してあげてください。 送り出し機関にも依頼して探してもらうのも良い手です。

特定技能1号

特定技能への移行の場合、本人の意思と、受け入れ先の合意を確認してからの申請準備となります。 全ての技能実習の職種が、特定技能には変更できるとは限らないので、注意が必要。

「技能実習の職種と技能実習業種の対比表」

特定技能への在留資格変更に関しては、法務省の特定技能のページに記載されていますから、しっかりと内容を確認してください。
http://www.moj.go.jp/nyuukokukanri/kouhou/nyuukokukanri01_00127.html

コロナの影響で、特定技能1号への在留資格変更が間に合わない人は、特定活動(就労可能 4ヶ月)の在留資格に変更する事も可能です。
技能実習期間満了日、在留期限等を十分確認したうえで、申請をしてください。
 

★ コロナ対応の特例で、技能実習の職種と異なる作業、業種への移行も、条件によっては許可されることになりました。
  ※実習実施者の事情で実習継続が困難となり、解雇された場合等・・
   機構と入管と両方に確認をしながら進めてください。

特定活動(就業可 6ヶ月)

とりあえず、この在留資格に変更しておくのが、最も簡単だと思います。
今までと同じ仕事をすることが条件ですが、会社は変わっても構いません。

次期技能実習生が入国するまでの間、継続して就労してもらう事も可能とは考えられますが、出入国が再開されたら、在留期間の更新は出来なくなりますから、それまでの間に、特定技能への移行等の在留資格変更を確実に進めてください。

1在留資格変更許可申請書
  (申請人等作成用及び所属機関等作成用 U(その他))
2監理団体が作成した理由書を提出する。
 ①実習中に従事していた業務を同等の条件で従事させること
 ②必要な助言・指導等を行うこと
 ③帰国する際の費用を負担すること等

追加資料を要求される場合も有りますので、事前に入管へ相談してください。